Задача
GEO-B3-M05-P019 Две точки Брокара
Пусть \(P\) — первая точка Брокара треугольника \(ABC\). Докажите, что изогонально сопряжённая ей точка является второй точкой Брокара.
C. Подсказка 1. Запишите равенства углов для первой точки Брокара.
D. Подсказка 2. Отразите три прямые \(AP,BP,CP\) относительно биссектрис.
Пусть \(\angle ABP=\angle BCP=\angle CAP=\varphi\). Отразим прямые \(AP,BP,CP\) относительно биссектрис углов \(A,B,C\). По тригонометрической Чеве эти три отражённые прямые также конкурентны; их точка пересечения — изогонально сопряжённая точка \(Q\).
Рассмотрим, например, угол \(\angle BAQ\). Он является отражением угла между \(AP\) и \(AC\), то есть связан с \(\angle CAP=\varphi\). Аналогично \(\angle ACQ\) связан с \(\angle BCP=\varphi\), а \(\angle CBQ\) — с \(\angle ABP=\varphi\). Поэтому \(\angle BAQ=\angle ACQ=\angle CBQ\), и \(Q\) является второй точкой Брокара.
Главное — не потерять циклический порядок равенств.