Задача
GEO-B3-M05-P020 Обобщённый Наполеон
На сторонах треугольника \(ABC\) внешним образом построены равнобедренные треугольники с вершинами \(A_1,B_1,C_1\) вне сторон \(BC,CA,AB\). Углы при \(A_1,B_1,C_1\) равны \(2\alpha,2\beta,2\gamma\), где \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\). Докажите, что углы треугольника \(A_1B_1C_1\) равны \(\alpha,\beta,\gamma\).
C. Подсказка 1. Постройте дополнительный треугольник, равный одному из уже построенных.
D. Подсказка 2. Сведите сравнение угла \(A_1B_1C_1\) к углу в исходном шестиугольнике.
Рассмотрим шестиугольник \(A B_1 C A_1 B C_1\). Сумма углов при вершинах \(A_1,B_1,C_1\) равна \(2(\alpha+\beta+\gamma)=360^\circ\), поэтому сумма оставшихся трёх углов также равна \(360^\circ\).
Построим вспомогательный треугольник, равный одному из внешних равнобедренных треугольников, так чтобы его сторона легла на соседнюю сторону шестиугольника. Тогда две пары треугольников оказываются равными по двум сторонам и углу между ними. Из этого следует, что удвоенный угол при одной вершине треугольника \(A_1B_1C_1\) равен соответствующему углу шестиугольника, то есть равен \(2\alpha\). Значит, сам угол равен \(\alpha\). Циклически получаем \(\beta\) и \(\gamma\).
Это более сильная версия Наполеона; для \(\alpha=\beta=\gamma=60^\circ\) получается правильный треугольник.