Задача
GEO-B3-M06-P002 Отношение на стороне
#2
★☆☆☆☆ Уровень 1 из 5
Чевиана \(AD\) треугольника \(ABC\) пересекает \(BC\) в точке \(D\). Докажите, что \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB\sin\angle BAD}{AC\sin\angle CAD}\).
Inspired by Prasolov trigonometric geometry method
C. Подсказка 1. Сравните площади \(ABD\) и \(ACD\) двумя способами.
D. Подсказка 2. Сначала через основания на \(BC\), затем через стороны \(AB,AC\).
Так как треугольники \(ABD\) и \(ACD\) имеют высоты к одной прямой \(BC\), \(\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{DC}\).
По формуле площади через синус \(S_{ABD}=\frac12 AB\cdot AD\sin\angle BAD\), \(S_{ACD}=\frac12 AC\cdot AD\sin\angle CAD\). Делим и получаем нужную формулу.
Эта формула должна стать автоматической.