Задача
GEO-B3-M06-P003 Медиана через косинусы
#3
★☆☆☆☆ Уровень 1 из 5
Пусть \(AM\) — медиана треугольника \(ABC\). Докажите, что \(AB^2+AC^2=2AM^2+\frac12 BC^2\).
Inspired by Prasolov trigonometric geometry method
C. Подсказка 1. Обозначьте \(BM=CM=\frac a2\).
D. Подсказка 2. Примените теорему косинусов в \(ABM\) и \(ACM\).
Пусть \(\angle AMB=\theta\). Тогда \(\angle AMC=180^\circ-\theta\). По теореме косинусов: \[ AB^2=AM^2+\frac{a^2}{4}-a\cdot AM\cos\theta, \] \[ AC^2=AM^2+\frac{a^2}{4}+a\cdot AM\cos\theta. \]
Складывая равенства, получаем \(AB^2+AC^2=2AM^2+\frac{a^2}{2}=2AM^2+\frac12 BC^2\).
Это формула Апполония, но здесь она выводится тригонометрически.