GEO-B3-M06-P004 Длина биссектрисы

C. Подсказка 1. Выразите площадь \(ABC\) как сумму площадей \(ABD\) и \(ACD\).

D. Подсказка 2. Используйте формулу площади через \(AD\) и углы \(\frac A2\).

Площадь всего треугольника равна \(\frac12 AB\cdot AC\sin A=AB\cdot AC\sin\frac A2\cos\frac A2\).

С другой стороны, \(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}=\frac12 AD\cdot AB\sin\frac A2+\frac12 AD\cdot AC\sin\frac A2=\frac12 AD(AB+AC)\sin\frac A2\).

Сокращая на \(\sin\frac A2\), получаем \(AD=\frac{2AB\cdot AC\cos\frac A2}{AB+AC}\).

Задача показывает, что не все длины удобнее выводить законом косинусов.