Задача
GEO-B3-M06-P011 Изогональное сопряжение и Ceva
#11
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть чевианы \(AA_1,BB_1,CC_1\) конкурентны. Докажите, что их изогональные чевианы также конкурентны.
Inspired by Prasolov trigonometric geometry method
C. Подсказка 1. Запишите trig Ceva для исходных чевиан.
D. Подсказка 2. При изогональном отражении каждый множитель заменяется обратным.
Для исходных чевиан по trig Ceva: \[ X_A X_B X_C=1, \] где \(X_A=\frac{\sin\angle BAA_1}{\sin\angle CAA_1}\), и аналогично.
Изогональная чевиана в угле \(A\) меняет местами углы с \(AB\) и \(AC\), поэтому новый множитель равен \(\frac1{X_A}\). Аналогично получаем \(\frac1{X_B}\) и \(\frac1{X_C}\). Их произведение также равно \(1\). По trig Ceva изогональные чевианы конкурентны.
Это короткое, но очень важное доказательство существования изогонального сопряжения.