Задача
GEO-B3-M06-P018 Линия Эйлера параллельна стороне
В треугольнике \(ABC\) докажите, что линия Эйлера параллельна \(BC\) тогда и только тогда, когда \(\tan B\tan C=3\).
C. Подсказка 1. Проецируйте условие на высоту из \(A\).
D. Подсказка 2. Используйте \(AH=2R\cos A\) и \(AA_h=2R\sin B\sin C\).
Пусть \(A_h\) — основание высоты из \(A\). Если линия Эйлера параллельна \(BC\), то при проекции на \(AA_h\) отношение отрезков, соответствующее делению медианы центром масс, даёт \(AH:AA_h=2:3\).
Имеем \(AH=2R\cos A\), а \(AA_h=c\sin B=2R\sin C\sin B\). Значит, \[ \frac{\cos A}{\sin B\sin C}=\frac23. \] Подставляя \(\cos A=\sin B\sin C-\cos B\cos C\), получаем \(\sin B\sin C=3\cos B\cos C\), то есть \(\tan B\tan C=3\). Обратные преобразования дают обратное утверждение.
Хорошая сильная задача на соединение классической геометрии с тригонометрией.