Задача
GEO-B3-M06-P019 Формула угла Брокара
Пусть \(\varphi\) — угол Брокара треугольника \(ABC\). Докажите формулу \(\operatorname{ctg}\varphi=\operatorname{ctg}A+\operatorname{ctg}B+\operatorname{ctg}C\).
C. Подсказка 1. Разбейте площадь \(ABC\) на три треугольника с вершиной в точке Брокара.
D. Подсказка 2. Выразите расстояния через одну и ту же величину и \(\varphi\).
Пусть \(P\) — первая точка Брокара, \(\angle ABP=\angle BCP=\angle CAP=\varphi\). Разобьём площадь \(S\) на \(S_{ABP}+S_{BCP}+S_{CAP}\). Каждый из этих треугольников имеет один угол \(\varphi\), а соседние углы связаны с \(A,B,C\).
Через теорему синусов в треугольниках \(ABP\), \(BCP\), \(CAP\) выражаем отношения \(AP:BP:CP\), затем подставляем в сумму площадей. После сокращения общего множителя получается \[ \operatorname{ctg}\varphi=\operatorname{ctg}A+\operatorname{ctg}B+\operatorname{ctg}C. \] Основной смысл вычисления: три маленькие площади имеют общий синус \(\sin\varphi\), а косинусные добавки собираются в сумму котангенсов углов треугольника.
Можно дать как продвинутый пример вычисления через площади и синусы.