Задача
GEO-B3-M06-P020 Секущая в циклической конфигурации
Вписанный четырёхугольник \(ABCD\) имеет пересечения \(E=AB\cap CD\), \(F=AD\cap BC\). Докажите, что для любой прямой через \(E\), пересекающей \(AD\) и \(BC\) в \(X,Y\), условие коллинеарности \(X,Y,E\) можно записать тригонометрическим Менелаем в треугольнике \(AFB\).
C. Подсказка 1. Рассматривайте \(X\in AF\), \(Y\in BF\), \(E\in AB\).
D. Подсказка 2. Углы с секущей удобно заменить равными углами окружности \(ABCD\).
В треугольнике \(AFB\) точки \(X,Y,E\) лежат соответственно на \(AF,BF,AB\). Их коллинеарность эквивалентна условию Менелая.
Тригонометрическая форма Менелая выражает это через углы, которые прямая \(EXY\) образует со сторонами \(AF,BF,AB\). Поскольку \(ABCD\) вписан, углы между \(CD\), \(AD\), \(BC\), \(AB\) можно заменять равными вписанными углами. Поэтому вся проверка коллинеарности сводится к произведению синусов углов на окружности.
Задача учит выбирать не исходный четырёхугольник, а правильный треугольник для Менелая.