Задача
GEO-B3-M06-P021 Формула \(\cos A+\cos B+\cos C\)
#21
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что в треугольнике \(ABC\) выполняется \(\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac rR\), где \(r\) и \(R\) — радиусы вписанной и описанной окружностей.
Inspired by Prasolov trigonometric geometry method
C. Подсказка 1. Используйте \(\cos A=1-2\sin^2\frac A2\) или формулы через \(p,r,R\).
D. Подсказка 2. Полезно знать \(\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2=\frac r{4R}\).
Используем тождество для углов треугольника: \[ \cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2. \] Его можно получить из формул суммы косинусов и условия \(A+B+C=180^\circ\).
Остаётся применить стандартную формулу \(\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2=\frac r{4R}\). Тогда \(\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac rR\).
Это базовая тригонометрическая формула для задач с \(r\) и \(R\).