Задача
GEO-B3-M06-P022 Изогональ кипертовой точки
В треугольнике \(ABC\) на сторонах построены подобные треугольники с параметром \(\varphi\), и соответствующие чевианы пересекаются в точке \(X_\varphi\). Докажите, что изогонально сопряжённая точка имеет трилинейные координаты, пропорциональные \((\sin(A+\varphi):\sin(B+\varphi):\sin(C+\varphi))\).
C. Подсказка 1. Запишите уравнения двух чевиан в трилинейных координатах.
D. Подсказка 2. Изогональное сопряжение в трилинейных координатах заменяет \((x:y:z)\) на \((1/x:1/y:1/z)\).
Для чевианы из \(C\) к вершине построенного треугольника на \(AB\) из углов конструкции получается уравнение вида \(x\sin(A+\varphi)=y\sin(B+\varphi)\). Аналогично две другие чевианы дают циклические уравнения.
Решая их, получаем для точки \(X_\varphi\) трилинейные координаты, обратные к \(\sin(A+\varphi),\sin(B+\varphi),\sin(C+\varphi)\) с общим множителем. Изогональное сопряжение в трилинейных координатах заменяет координаты обратными. Поэтому изогональная точка имеет координаты \((\sin(A+\varphi):\sin(B+\varphi):\sin(C+\varphi))\).
Это preview к гиперболе Киперта; полное уравнение кривой можно оставить на следующий уровень.