Задача
NT-B1-M01-P013 Пять последовательных множителей
#13
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что \(120\mid n(n^2-1)(n^2-4)\) для любого целого \(n\).
Разложите выражение на пять последовательных множителей.
Имеем \(n(n^2-1)(n^2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)\), то есть произведение пяти последовательных целых чисел \(n-2,n-1,n,n+1,n+2\). Среди них есть число, делящееся на \(5\), есть число, делящееся на \(3\), и достаточно множителей \(2\), чтобы получить \(8\): среди пяти последовательных чисел есть либо число, делящееся на \(4\), и еще одно четное число, либо число, делящееся на \(8\). Значит, произведение делится на \(8\cdot3\cdot5=120\).
Сильнее обычной задачи на \(6\): нужно контролировать степень двойки.