Задача
NT-B1-M01-P014 Наибольший делитель трех соседних
#14
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите наибольшее положительное \(m\), такое что \(m\mid n(n+1)(n+2)\) для любого целого \(n\).
Сначала докажите, что \(6\) всегда подходит, затем подставьте \(n=1\).
Для любого \(n\) произведение трех последовательных чисел делится на \(6\), значит, \(m=6\) подходит. Если некоторое \(m\) подходит для всех \(n\), то при \(n=1\) оно делит \(1\cdot2\cdot3=6\). Поэтому \(m\le 6\) в смысле делимости, и наибольшее \(m\) равно \(6\).
Важно увидеть обе части: существование и максимальность.