Задача
NT-B1-M01-P016 Делимость квадратичного выражения
#16
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все положительные целые \(n\), для которых \(2n+1\mid n^2+n+3\).
Умножьте выражение на \(4\), чтобы появился \((2n+1)^2\).
Если \(2n+1\mid n^2+n+3\), то \(2n+1\mid 4(n^2+n+3)\). Но \(4(n^2+n+3)=4n^2+4n+12=(2n+1)^2+11\). Значит, \(2n+1\mid 11\). Так как \(n\) положительно, \(2n+1\ge3\), поэтому \(2n+1=11\), откуда \(n=5\). Проверка: \(n^2+n+3=33\), \(2n+1=11\), подходит.
Хорошая задача на превращение переменного делителя в делитель константы.