Задача
NT-B1-M01-P017 Квадрат простого минус один
#17
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что если \(p>3\) - простое число, то \(24\mid p^2-1\).
Разложите \(p^2-1=(p-1)(p+1)\).
Так как \(p>3\) - простое, оно нечетно и не делится на \(3\). Числа \(p-1\) и \(p+1\) - два соседних четных числа; одно из них делится на \(4\), другое на \(2\), значит, их произведение делится на \(8\). Кроме того, среди \(p-1,p,p+1\) одно число делится на \(3\), но \(p\) не делится на \(3\), значит, \(3\mid(p-1)(p+1)\). Так как \(8\) и \(3\) взаимно просты, \(24\mid p^2-1\).
Ключевой шаблон для простых \(p>3\).