Задача
NT-B1-M02-P013 Сумма и произведение
#13
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(\gcd(a,b)=1\). Докажите, что \(\gcd(a+b,ab)=1\).
Если простой \(p\) делит \(ab\), то он делит \(a\) или \(b\).
Предположим, что простой \(p\) делит и \(a+b\), и \(ab\). Из \(p\mid ab\) следует \(p\mid a\) или \(p\mid b\). Если \(p\mid a\), то из \(p\mid a+b\) получаем \(p\mid b\), противоречие с \(\gcd(a,b)=1\). Случай \(p\mid b\) аналогичен. Значит, общих простых делителей нет, и НОД равен \(1\).
Использует простую лемму Евклида в доказательстве взаимной простоты.