Задача
NT-B1-M03-P018 Четвертые степени по модулю 16
#18
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что уравнение \(x^4+y^4=16z+15\) не имеет решений в целых числах.
Четвертая степень по модулю \(16\) равна \(0\) или \(1\).
Если \(x\) четно, то \(x^4\equiv0\pmod{16}\); если \(x\) нечетно, то \(x^2\equiv1\) или \(9\pmod{16}\), а \(x^4\equiv1\pmod{16}\). Значит, \(x^4+y^4\) может иметь остаток \(0,1,2\), но не \(15\). Правая часть имеет остаток \(15\). Противоречие.
Вводит полезный модуль \(16\).