NT-B1-M05-P022 Произведение делит сумму

Из-за симметрии считайте \(x\le y\), затем получите \(xy\le x+y+2\).

Пусть \(x\le y\). Тогда \(xy\le x+y+2\). Если \(x\ge3\), то \(xy\ge3y\), а \(x+y+2\le2y+2\), что невозможно при \(y\ge3\). Значит, \(x=1\) или \(x=2\). При \(x=1\): \(y\mid y+3\), значит, \(y\mid3\), и \(y=1,3\). При \(x=2\): \(2y\mid y+4\), поэтому \(y\le4\); проверка \(y=2,3,4\) дает только \(y=4\). С учетом симметрии: \((1,1)\), \((1,3)\), \((3,1)\), \((2,4)\), \((4,2)\).

Задача важна как первое серьезное применение оценки в диофантовых уравнениях.