Задача
NT-B1-M06-P011 Уравнение \(x^2+y^2=3z^2\)
#11
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=3z^2\) не имеет положительных целых решений.
Используйте предыдущую задачу, затем делите все переменные на \(3\).
Из \(3\mid x^2+y^2\) следует \(3\mid x\) и \(3\mid y\). Пусть \(x=3x_1\), \(y=3y_1\). Тогда \(9x_1^2+9y_1^2=3z^2\), откуда \(z^2=3x_1^2+3y_1^2\), значит, \(3\mid z\). Деление \(x,y,z\) на \(3\) дает меньшее положительное решение. Бесконечный спуск невозможен.
Классическая модель модульного спуска.