Задача
NT-B1-M06-P012 Форма \(x^2+2y^2\) по модулю \(5\)
#12
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите: если \(5\mid x^2+2y^2\), то \(5\mid x\) и \(5\mid y\).
Выпишите квадратичные остатки по модулю \(5\): \(0,1,4\).
Квадраты по модулю \(5\): \(0,1,4\). Тогда \(2y^2\) может иметь остатки \(0,2,3\). Сумма \(x^2+2y^2\) может быть \(0\) по модулю \(5\) только в случае \(0+0\). Значит, \(x^2\equiv0\) и \(y^2\equiv0\pmod5\), откуда \(5\mid x\), \(5\mid y\).
Лемма готовит более сильное уравнение следующей задачи.