Задача
NT-B1-M06-P013 Уравнение \(x^2+2y^2=5z^2\)
#13
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что уравнение \(x^2+2y^2=5z^2\) не имеет положительных целых решений.
Сначала примените результат о делимости \(x^2+2y^2\) на \(5\).
Из \(5\mid x^2+2y^2\) следует \(5\mid x\), \(5\mid y\). Пусть \(x=5x_1\), \(y=5y_1\). Тогда \(25x_1^2+50y_1^2=5z^2\), откуда \(z^2=5x_1^2+10y_1^2\), значит, \(5\mid z\). Делим все переменные на \(5\) и получаем меньшее положительное решение. Спуск невозможен.
Это уже два шага: модульная лемма и сам спуск.