Задача
NT-B1-M06-P014 Сумма квадратов по модулю \(7\)
#14
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите: если \(7\mid x^2+y^2\), то \(7\mid x\) и \(7\mid y\).
Квадраты по модулю \(7\): \(0,1,2,4\).
Квадратичные остатки по модулю \(7\): \(0,1,2,4\). Ни две ненулевые величины из множества \(\{1,2,4\}\) не дают сумму \(0\) по модулю \(7\). Поэтому \(x^2+y^2\equiv0\pmod7\) возможно только при \(x^2\equiv y^2\equiv0\pmod7\). Значит, \(7\mid x\), \(7\mid y\).
Хорошая тренировка таблицы квадратичных остатков.