Задача
NT-B1-M06-P015 Уравнение \(x^2+y^2=7z^2\)
#15
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=7z^2\) не имеет положительных целых решений.
Используйте предыдущую задачу, затем делите все переменные на \(7\).
Из уравнения следует \(7\mid x^2+y^2\), значит, \(7\mid x\) и \(7\mid y\). Пусть \(x=7x_1\), \(y=7y_1\). Тогда \(49x_1^2+49y_1^2=7z^2\), откуда \(z^2=7x_1^2+7y_1^2\), значит, \(7\mid z\). Деление всех переменных на \(7\) дает меньшее решение того же вида. Бесконечный спуск невозможен.
Аналог задачи с модулем \(3\), но таблица остатков сложнее.