Задача
NT-B1-M08-P015 Сколько угодно составных подряд
#15
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что для любого \(k\ge1\) существуют \(k\) последовательных составных натуральных чисел.
Используйте число \((k+1)!\).
Рассмотрим числа \((k+1)!+2,(k+1)!+3,\ldots,(k+1)!+(k+1)\). Для каждого \(r=2,3,\ldots,k+1\) число \((k+1)!+r\) делится на \(r\), потому что \((k+1)!\) делится на \(r\). Оно больше \(r\), значит, составное. Таких чисел \(k\).
Классическая конструкция, близкая по духу CRT.