Задача
NT-B1-M10-P014 Когда \(37\mid R_n\)
#14
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все \(n\ge1\), для которых \(R_n\) делится на \(37\).
Так как \(37\) взаимно просто с \(9\), условие эквивалентно \(10^n\equiv1\pmod{37}\).
Имеем \(10^3=1000\equiv1\pmod{37}\), а \(10 ot\equiv1\), \(10^2\equiv26 ot\equiv1\pmod{37}\). Порядок \(10\) по модулю \(37\) равен \(3\). Поэтому \(37\mid R_n\) тогда и только тогда, когда \(3\mid n\).
Показывает связь репьюнитов и порядка.