Задача
NT-B1-M10-P022 Число из девяток
#22
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Верно ли, что для любого натурального \(m\) существует число, записанное только цифрами \(9\), которое делится на \(m\)? Дайте точное исправленное утверждение.
Проверьте, что происходит при \(m=2\) и \(m=5\).
Число из девяток всегда нечётно и оканчивается на \(9\), поэтому не делится на \(2\) или \(5\). Значит исходное утверждение неверно. Исправленное утверждение: если \(\gcd(m,10)=1\), то такое число существует. Действительно, по предыдущей конструкции существует \(R_n\), делящееся на \(m\); тогда \(9R_n\) состоит только из девяток и тоже делится на \(m\).
Это намеренная ловушка на проверку условий взаимной простоты.