Задача
NT-B1-M11-P012 Нечётное число делителей
#12
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите, что натуральное число имеет нечётное число положительных делителей тогда и только тогда, когда оно является квадратом.
Делители обычно разбиваются на пары \(d\) и \(\frac{n}{d}\).
Если \(d\mid n\), то с ним в паре идёт \(\frac{n}{d}\). Пара состоит из двух разных делителей, кроме случая \(d=\frac{n}{d}\), то есть \(d^2=n\). Поэтому непарный делитель появляется ровно у квадратов, и только тогда число делителей нечётно.
Красивая идея парности делителей.