Задача
NT-B2-M01-P010 Взаимно простые показатели
#10
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a>1\), \(m,n\) - натуральные числа и \( \gcd(m,n)=1 \). Докажите, что \( \gcd(a^m-1,a^n-1)=a-1 \).
Используйте общий факт \( \gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{\gcd(m,n)}-1 \) или докажите его алгоритмом Евклида.
Так как \( \gcd(m,n)=1 \), общий факт для степеней даёт \( \gcd(a^m-1,a^n-1)=a^1-1=a-1 \). Если доказывать напрямую, общий делитель сохраняется при замене пары показателей \((m,n)\) на \((m-n,n)\), пока алгоритм Евклида не приведёт к показателю \(1\).
Это короткая задача, но она закрепляет главный степенной шаблон.