Задача
NT-B2-M01-P011 Соседние степени
#11
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что \( \gcd(3^n-1,3^n+2)=1 \) для любого натурального \(n\).
Разность двух чисел равна \(3\), но проверьте делимость на \(3\).
Общий делитель делит разность \((3^n+2)-(3^n-1)=3\). Значит, возможен только общий простой делитель \(3\). Но \(3^n-1\equiv -1\pmod3\), поэтому \(3\) не делит первое число. Следовательно, общий делитель равен \(1\).
Хорошая проверка: если общий делитель делит маленькое число, надо проверить каждый его простой делитель.