Задача
NT-B2-M02-P016 Спуск для числа \(3\)
#16
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=3z^2\) имеет только нулевое решение в целых числах.
По модулю \(3\), если сумма двух квадратов делится на \(3\), оба квадрата делятся на \(3\).
Квадраты по модулю \(3\) равны \(0\) или \(1\). Если \(3\mid x^2+y^2\), сумма остатков не может быть \(1+0\) или \(1+1\), поэтому оба квадрата имеют остаток \(0\). Значит, \(3\mid x\) и \(3\mid y\). Тогда \(9\mid x^2+y^2=3z^2\), значит \(3\mid z\). Деление всех переменных на \(3\) даёт меньшее решение. Ненулевое решение привело бы к бесконечному спуску, поэтому возможно только \(x=y=z=0\).
Это первый descent в книге 2 по теории чисел.