Задача
NT-B2-M02-P017 Форма порядка \(3\)
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(p\ne3\) - простой, \( \gcd(a,b)=1 \), и \(p\mid a^2+ab+b^2\). Докажите, что \(p\equiv1\pmod3\).
Поделите сравнение на \(b^2\) и получите \(t^2+t+1\equiv0\).
Так как \(p\nmid b\), положим \(t\equiv ab^{-1}\pmod p\). Тогда \(t^2+t+1\equiv0\). Умножим на \(t-1\): \(t^3-1\equiv0\). При этом \(t\not\equiv1\), иначе \(3\equiv0\pmod p\), что невозможно. Значит, порядок \(t\) равен \(3\). Порядок делит \(p-1\), поэтому \(3\mid p-1\), то есть \(p\equiv1\pmod3\).
Это задача повышенного уровня, потому что метод не выглядит как обычные квадратичные остатки.