Задача
NT-B2-M02-P018 Простые \(2\pmod3\)
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(p\equiv2\pmod3\) - простой и \(p\mid a^2+ab+b^2\). Докажите, что \(p\mid a\) и \(p\mid b\).
Если один из \(a,b\) не делится на \(p\), сведите к предыдущей задаче.
Предположим, что не оба числа делятся на \(p\). Если \(p\mid b\), то из формы получаем \(p\mid a^2\), значит \(p\mid a\), противоречие предположению. Значит, можно считать \(p\nmid b\). Тогда \(t=ab^{-1}\) удовлетворяет \(t^2+t+1\equiv0\pmod p\), и, как в предыдущей задаче, это даёт элемент порядка \(3\). Тогда \(3\mid p-1\), то есть \(p\equiv1\pmod3\), что противоречит \(p\equiv2\pmod3\). Следовательно, \(p\mid a\) и \(p\mid b\).
Это аналог леммы про простые \(3\pmod4\) для формы \(a^2+ab+b^2\).