Задача
NT-B2-M05-P009 Произведение
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что \(v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)\) для простого \(p\).
Запишите \(a=p^r u\), \(b=p^s v\), где \(p\nmid u,v\).
Пусть \(a=p^r u\), \(b=p^s v\), где \(p\nmid u\) и \(p\nmid v\). Тогда \(ab=p^{r+s}uv\), причём \(p\nmid uv\). Значит, показатель \(p\) в \(ab\) равен \(r+s\), то есть \(v_p(a)+v_p(b)\).
Фундаментальное свойство valuations.