Задача
NT-B2-M05-P011 Почему \(2^n\) не хватает
#11
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что \(2^n\nmid n!\) для любого натурального \(n\).
Оцените \(v_2(n!)\) сверху геометрической суммой.
По формуле Лежандра \(v_2(n!)=\lfloor n/2\rfloor+\lfloor n/4\rfloor+\cdots\). Каждое слагаемое не превосходит соответствующего \(n/2^i\), а хотя бы первое строго меньше или вся сумма floors строго меньше \(n/2+n/4+\cdots=n\). Значит, \(v_2(n!)
Доказательная задача на оценку, не на вычисление.