Задача
NT-B2-M06-P019 Точный критерий
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(p\) - нечётный простой, \(p\mid a-b\), \(p^2\nmid a-b\), \(p\nmid ab\). Докажите, что \(p^r\mid a^n-b^n\) тогда и только тогда, когда \(p^{r-1}\mid n\).
При данных условиях \(v_p(a-b)=1\).
По LTE \(v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_p(n)=1+v_p(n)\). Делимость \(p^r\mid a^n-b^n\) равносильна \(1+v_p(n)\ge r\), то есть \(v_p(n)\ge r-1\). Это равносильно \(p^{r-1}\mid n\).
Чистая задача на превращение LTE в iff-критерий.