Задача
NT-B2-M07-P005 Разность квадратов простых чисел
#5
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Найдите все простые числа \(p>q\), для которых \(p^2-q^2=120\).
Разложите \((p-q)(p+q)=120\) и учтите, что нечётные простые дают чётные множители.
Если \(q=2\), то \(p^2=124\), что невозможно. Значит \(p,q\) нечётные, и \(p-q\), \(p+q\) — чётные положительные множители \(120\). Проверяем пары \((2,60),(4,30),(6,20),(10,12)\). Они дают \((p,q)=(31,29),(17,13),(13,7),(11,1)\). Последняя пара не подходит, так как \(1\) не простое. Ответ: \((31,29),(17,13),(13,7)\).
Здесь полезно спросить ученика, почему случай \(q=2\) нужно разобрать отдельно.