Задача
NT-B2-M07-P007 Дробное уравнение с дополнительным членом
#7
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все положительные целые пары \((x,y)\), если \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{8}\).
Умножьте на \(8xy\).
Получаем \(8x+8y+8=xy\), то есть \(xy-8x-8y=8\). Поэтому \((x-8)(y-8)=72\). Для каждого положительного делителя \(d\mid 72\) имеем \(x=8+d\), \(y=8+\frac{72}{d}\). Значит решения: \((9,80),(10,44),(11,32),(12,26),(14,20),(16,17),(17,16),(20,14),(26,12),(32,11),(44,10),(80,9)\).
Развивает пример с двумя единичными дробями: дополнительный член не мешает, если аккуратно умножить.