Задача
NT-B2-M07-P008 Линейные члены в разности квадратов
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все положительные целые \(x>y\), удовлетворяющие \(x^2-y^2=2x+2y+21\).
Вынесите \(x+y\): слева уже есть \((x-y)(x+y)\), справа есть \(2(x+y)\).
Перепишем уравнение как \((x+y)(x-y)-2(x+y)=21\), то есть \((x+y)(x-y-2)=21\). Пусть \(A=x+y\), \(B=x-y-2\). Возможные положительные пары \((A,B)\): \((1,21),(3,7),(7,3),(21,1)\). Первые две дают неположительное \(y\). Из \((7,3)\) получаем \(x=6,y=1\), из \((21,1)\) получаем \(x=12,y=9\). Ответ: \((6,1),(12,9)\).
Обратите внимание на проверку положительности после обратной замены.