Задача
NT-B2-M07-P009 Сдвиг квадрата
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все положительные целые пары \((x,y)\), для которых \(x^2+4x=y^2+11\).
Дополните \(x^2+4x\) до квадрата \((x+2)^2\).
Имеем \((x+2)^2-y^2=15\), то есть \((x+2-y)(x+2+y)=15\). Пары положительных множителей одинаковой чётности: \((1,15)\) и \((3,5)\), обе нечётные. Из них получаем \((x,y)=(6,7)\) и \((2,1)\). Проверка в исходном уравнении подтверждает оба решения.
Задача тренирует переход от квадратного трёхчлена к разности квадратов.