Задача
NT-B2-M07-P010 Делитель \(2n+1\)
#10
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все положительные целые \(n\), такие что \(2n+1\mid n^2+n+10\).
Умножьте выражение \(n^2+n+10\) на \(4\), чтобы появился \((2n+1)^2\).
Если \(2n+1\mid n^2+n+10\), то \(2n+1\mid 4(n^2+n+10)\). Но \(4n^2+4n+40=(2n+1)^2+39\). Значит \(2n+1\mid 39\). Так как \(2n+1>1\) и нечётно, возможны \(2n+1=3,13,39\). Получаем \(n=1,6,19\). Все три значения подходят.
Ключевой ход — подобрать множитель \(4\), чтобы убрать дробные коэффициенты.