NT-B2-M07-P015 Параметризация через разность

Перенесите \(2xy\) влево: появится \((x-y)^2\).

Уравнение равносильно \((x-y)^2=x+y\). Пусть \(d=|x-y|\). Тогда \(x+y=d^2\). Если \(x\ge y\), то \(x-y=d\), откуда \(x=\frac{d^2+d}{2}\), \(y=\frac{d^2-d}{2}\). Для положительности нужно \(d\ge 2\). Обратно, при любом \(d\ge 2\) эти числа положительны и удовлетворяют уравнению. С учётом перестановки ответ: \(\left(\frac{d(d+1)}{2},\frac{d(d-1)}{2}\right)\) и перестановка, где \(d=2,3,4,\ldots\).

Здесь ответ бесконечный; важно, чтобы ученик не пытался делать конечный перебор без основания.