Задача
NT-B2-M08-P002 Уравнение \(x^2=5y^2\)
#2
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите, что уравнение \(x^2=5y^2\) не имеет решений в положительных целых числах.
Если \(5\mid x^2\), то \(5\mid x\).
Из \(x^2=5y^2\) следует \(5\mid x^2\), значит \(x=5u\). Тогда \(25u^2=5y^2\), то есть \(y^2=5u^2\), и \(5\mid y\). Положив \(y=5v\), получаем \(u^2=5v^2\), меньшее решение. Это невозможно.
Полезно как переход от чётности к простому делителю.