Задача
NT-B2-M08-P003 Сумма квадратов и модуль \(3\)
#3
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=3z^2\) не имеет ненулевых целых решений.
Квадраты по модулю \(3\) равны \(0\) или \(1\).
По модулю \(3\): \(x^2+y^2\equiv 0\). Это возможно только при \(x\equiv y\equiv 0\pmod 3\). Тогда \(9\mid x^2+y^2\), значит \(9\mid 3z^2\), и \(3\mid z\). Делим \(x,y,z\) на \(3\) и получаем меньшее ненулевое решение. Противоречие.
Показывает спуск в трёх переменных.