Задача
NT-B2-M08-P012 Четвёртые степени и квадрат
Докажите, что уравнение \(x^4+y^4=7z^2\) не имеет решений в положительных целых числах.
Сначала рассмотрите четвёртые степени по модулю \(7\), затем проследите, насколько сильно делится \(z\).
Четвёртые степени по модулю \(7\) равны \(0,1,2,4\). Сумма двух таких остатков может быть \(0\pmod 7\) только в случае \(0+0\). Поэтому из \(7\mid x^4+y^4\) следует \(7\mid x\) и \(7\mid y\). Пусть \(x=7x_1\), \(y=7y_1\). Тогда левая часть делится на \(7^4\), значит \(7z^2\) делится на \(7^4\), то есть \(z^2\) делится на \(7^3\). Так как показатель в квадрате чётный, отсюда \(7^2\mid z\); положим \(z=49z_1\). Подставляя, получаем \(7^4(x_1^4+y_1^4)=7\cdot 7^4 z_1^2\), то есть \(x_1^4+y_1^4=7z_1^2\). Получено меньшее положительное решение. Бесконечный спуск невозможен, значит исходных решений нет.
Задача вдохновлена локальным сборником по классической теории чисел; формулировка и решение подготовлены как оригинальный учебный вариант.