Задача
NT-B2-M08-P013 Простые \(3 \pmod 4\)
#13
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(p\equiv 3\pmod 4\) — простое число. Докажите: если \(p\mid x^2+y^2\), то \(p\mid x\) и \(p\mid y\).
Предположите, что \(p\nmid y\), и получите квадратный корень из \(-1\) по модулю \(p\).
Если \(p\nmid y\), то \((xy^{-1})^2\equiv -1\pmod p\). Возводим обе части в степень \(\frac{p-1}{2}\). Слева получается \(1\), справа \((-1)^{(p-1)/2}=-1\), так как \(p\equiv 3\pmod 4\). Противоречие. Значит \(p\mid y\), а тогда из \(p\mid x^2+y^2\) следует \(p\mid x\).
Связь с предыдущими модулями: Ферма и квадратичные остатки.