Задача
NT-B2-M08-P014 Уравнение с \(11\)
#14
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что \(x^2+y^2=11z^2\) не имеет ненулевых целых решений.
Используйте факт из предыдущей задачи для \(p=11\).
Так как \(11\equiv 3\pmod 4\) и \(11\mid x^2+y^2\), получаем \(11\mid x\) и \(11\mid y\). Тогда \(121\mid x^2+y^2=11z^2\), значит \(11\mid z\). Делим все переменные на \(11\) и получаем меньшее ненулевое решение. Бесконечный спуск невозможен.
Короткое применение общей леммы.