Задача
NT-B2-M08-P015 Общий случай \(p\equiv 3\pmod 4\)
#15
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(p\equiv 3\pmod 4\) — простое число. Докажите, что уравнение \(x^2+y^2=pz^2\) не имеет ненулевых целых решений.
Сначала докажите, что \(p\mid x,y\), затем что \(p\mid z\).
Из уравнения следует \(p\mid x^2+y^2\). По лемме о простых \(3\pmod 4\) получаем \(p\mid x\) и \(p\mid y\). Тогда \(p^2\mid x^2+y^2=pz^2\), значит \(p\mid z^2\), то есть \(p\mid z\). Делим \(x,y,z\) на \(p\) и получаем меньшее ненулевое решение того же уравнения. Это даёт бесконечный спуск, невозможный в положительных целых числах.
Это важный шаблон для сильных задач на суммы квадратов.