Задача
NT-B2-M08-P016 Четвёртые степени и модуль \(3\)
#16
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что \(x^4+y^4=3z^4\) не имеет ненулевых целых решений.
Четвёртая степень по модулю \(3\) равна \(0\) или \(1\).
Из \(x^4+y^4\equiv 0\pmod 3\) следует, что \(x\) и \(y\) делятся на \(3\). Тогда левая часть делится на \(81\), значит \(3z^4\) делится на \(81\), и \(z\) делится на \(3\). Деление \(x,y,z\) на \(3\) сохраняет уравнение и даёт меньшее ненулевое решение. Противоречие.
Показывает, почему однородность важна для спуска.