Задача
NT-B2-M11-P003 Последние три цифры
#3
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите, что десятичное число делится на \(8\) тогда и только тогда, когда число, образованное его последними тремя цифрами, делится на \(8\). Найдите все цифры \(c\), при которых \(\overline{45c2}\) делится на \(8\).
Отделите последние три цифры: \(N=1000q+r\).
Пусть \(N=1000q+r\), где \(0\le r<1000\) — число из последних трёх цифр. Так как \(1000\) делится на \(8\), имеем \(N\equiv r\pmod8\).
Для \(\overline{45c2}\) последние три цифры дают число \(502+10c\). Нужно \(502+10c\equiv0\pmod8\), то есть \(6+2c\equiv0\pmod8\). Получаем \(2c\equiv2\pmod8\), значит \(c\equiv1\pmod4\). Ответ: \(c=1,5,9\).
Здесь удобно подчеркнуть разницу между модулем \(8\) и модулем \(10^3\).