Задача
NT-B2-M11-P004 Основание как неизвестное
#4
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Найдите все целые основания \(b>6\), для которых число \(\overline{31}_b\) делится на \(5\).
Переведите запись \(\overline{31}_b\) в выражение через \(b\).
Имеем \(\overline{31}_b=3b+1\). Условие \(5\mid3b+1\) даёт \(3b\equiv-1\equiv4\pmod5\). Так как \(3^{-1}\equiv2\pmod5\), получаем \(b\equiv8\equiv3\pmod5\). При \(b>6\) ответ: все \(b=5t+3\), где \(t\ge1\).
Такие задачи учат не воспринимать запись в основании \(b\) как десятичную запись.